Doppelt Miete ? Umzugsunternehmen ? Quatsch... (Nicht bös gemeint )
In deinem Fall heisst´s jetz telefonieren, telefonieren, telefonieren^^
In Essen sollte es doch ausreichend Beratungsstellen (Sozialarbeiter etc) zum Thema geben und die würden dir vermutlich sagen, dass dir das Amt den Umzug bezahlen muss, wenn ein ausreichender Grund für selbigen vorhanden ist. Ein ausreichender Grund ist ein ärztliches Attest und ich bin mir nicht 100% sicher, aber denke, das Attest von einem Psychiater ist in dem Fall das beste, was du bekommen kannst.
http://spe-essen.info/Seiten/verein.html z.B. und vermutlich noch viele mehr.
Die können vermutlich auch bei der Wohnungssuche helfen. Klapper am besten (hauptsächl. telefonisch) alles ab in der Stadt oder umliegenden Städten, was eine Hilfe sein kann. Falls du nciht mehr in Essen wohnen möchtest oder es übertrieben schwer ist in absehbarer Zeit eine Wohung zu finden, gibt es auch die Möglichkeit in eine andere Stadt zu ziehen.
Hol dir zusätzlich zu dem Attest vom Rheumatologen noch eines von einem Psychiater, welcher dir in irgend einer Form bestätigt, dass deine aktuelle Wohnsituation deiner ohnehin angeschlagenen Gesundheit mehr und mehr schadet.
Dann legst du dass dem Amt vor und beantragst eine Erstattung von Umzugskosten.
Wenn du eine Wohnung suchst muss diese vom natürlich als angemessen gelten, da verarscht das Amt die Leute mal ganz gerne mit einem angeblich zu hohem Quadratmeterpreis - Das Zauberwort an dieser Stelle ist Produkt-Theorie. Mach dich darüber am besten mal schlau...
Die beste Seite (ZUmindest hier in Leipzig) die ich kenne um auf einen vernünftigen Weg wohnungen zu finden ist wg-gesucht.de, da kann man auch nach Einraum/Zweiraumwohnungen schauen.
Falls du aus irgendwelchen Gründen keine Beratung hast (Was schwer sein dürfte in Essen ), gibts noch ein paar ganz geeignete Foren zum Thema. Ich glaub Tacheles-EV ist da ganz gut, wenn ich nicht irre.
Ansonsten kann ich dir auch noch anbieten dass du mich mal per PN anschreibst^^
Viel Glück !
PS: Also die Reihenfolge ist wichtig - Sicher kannst dich nebenbei am Wohnungsmarkt umsehen aber eigentlich sind erstmal andere Sachen wichtig die mit Sozialarbeitern etc. /Ärzten /Amt geklärt werden müssen. Noch ein Tip - Habt ihr ein Büro der Linkspartei in Essen ? Die helfen bei sowas manchmal auch sehr gut und kostenlos